موضوع: جزوه مجموعه های متناهی و نامتناهی ویژه کنکور ریاضی،کنکورتجربی ،کنکور انسانی

مجموعه های متناهی و نا متناهی

در این درس بعد از یادآوری مفاهیم اولیه مجموعه ها که در پایه نهم به آن پرداخته شده است ، برخی از مجموعه اعداد نامدار را بررسی کرده سپس مجموعه های متناهی و نامتناهی را تعریف می کنیم.

 

تعریف مجموعه:

از مجموعه در ریاضی برای بیان و نمایش دسته ای از اعداد ، حروف ، افراد یا اشیای مشخص )غیرتکراری( و متمایزعضویت) آنها در مجموعه کامالً معین باشد( استفاده می شود.)

 

مثال:

اعداد اول کمتر از ۲۰ ؛ یک مجموعه را تشکیل می دهند . اما سه عدد اول کمتر از ۲۰ را نمی توان یک مجموعه نامید زیرا اعضاء آن مشخص نیست . (یعنی مشخص نیست عدد اولی مانند ۵ عضو آن است یانه )

 

مجموعه ها را با حروف بزرگ انگلیسی مانند A و B و C و … نامگذاری می کنند و اعضاء آن را درون آکوالد }{ قرار می دهند

به عنوان مثال :

مجموعه           = {۸ , ۶ , ۴ , ۲} اعداد زوج کمتر از ۱۰ را نشان می دهد.

برای نشان دادن عضو بودن یک شی در مجموعه از نماد ϵ استفاده می شود .

به عنوان مثال:

می نویسیم                   ϵ ۴ و می خوانیم ۴ عضو A است .

در نمایش مجموعه ها، ترتیب نوشتن عضوهای مجموعه، مهم نیست و با جابه جایی عضوهای یک مجموعه، مجموعه ی جدیدی ساخته نمی شود؛ همچنین با تکرار عضوهای یک مجموعه، مجموعه ی جدیدی ساخته نمی شود؛ بنابراین به جای   { ۳,۳,۴ } می نویسیم  { ۴,,۳ }

اگر در مجموعه ای عضوی وجود نداشته باشد، آن را مجموعه ی تُهی می نامیم و با نماد ∅ یا }{ نمایش می دهیم.توجه شود که این مجموعه با مجموعه ی { ∅ } یا { ۰ } که هر کدام دارای یک عضو هستند، یکی نیست.

 

هرگاه عضوهای دو مجموعه ی A و B یکسان باشند و هر عضو A، عضوی از Bو هر عضو B، عضوی از A باشد ؛ در این صورت دو مجموعه ی Aو B برابراند و می نویسیم A = B

اگر عضوهای مجموعه ی  Aهمگی در Bباشند ؛ یعنی هر عضو ش، عضوی از Bنیزباشد؛ در این صورت مجموعه ی Aزیرمجموعه ی Bاست و می نویسیم . A ⊆ B

سوال : ۱

با فرض برقراری تساوی بین دو مجموعه زیر ، مقادیر aو bرا بیابید .

اگر بتوانیم عضوی در B بیابیم که در A نباشد، می گوییم B زیرمجموعه ی A نیست و می نویسیم B ⊆ A

هر مجموعه، زیر مجموعه ی خودش است؛

یعنی اگر A مجموعه ای دلخواه باشد، داریم: A⊆A

مجموعه ی تهی زیرمجموعه ی هر مجموعه ای دلخواه مانند A است؛ یعنی؛ A⊆∅

تعداد عضوهای هر مجموعه مانند Aرا با n(A) نمایش می دهیم؛ به عنوان مثال، اگر Aمجموعه ای kعضوی باشد، می نویسیم n(A)=k

تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه nعضوی مانند Aبرابر است با ۲ به توان n؛ به عنوان مثال، اگر Aمجموعه ای ۵ عضوی باشد، ۲ به توان ۵ یعنی ۳۲ زیر مجموعه دارد .

داوطبین کنکور ریاضی ۹۹،کنکور تجربی۹۹ ،کنکور انسانی ۹۹توجه داشته باشید که تعدادزیر مجموعه های یک مجموعه میتواند بیشتر ار خود مجموعه باشد.

نمایش مجموعه های با استفاده از نمودار وِن:

 

مجموعه را می توان با استفاده از منحنی ها یا خط های شکسته ی بسته نمایش داد ؛ به عنوان مثال    A= {7 , 5 , 3 , 2} با استفاده از نمودار وِن به صورت زیر است.

اشتراک دو مجموعه:

اشتراک دو مجموعه ی A و B مجموعه، ای شاملِ همه عضوهایی است که هم عضو مجموعه ی A و هم عضو مجموعه ی B می باشند. این مجموعه را با نماد A ∩B نشان می دهیم. در نمودار زیر قسمت هاشور خورده اشتراک دو مجموعه را نشان می دهد.

اجتماع دو مجموعه:

اجتماع دو مجموعه ی A و Bمجموعه، ای شاملِ همه عضوهایی است که حداقل در یکی از دو مجموعه A یا B عضو باشد . این مجموعه را با

نماد  ∪  نشان می دهیم. در نمودار زیر قسمت هاشور خورده اجتماع دو مجموعه را نشان می دهد.

تفاضل دو مجموعه:

مجموعه ی  A( A – B) منهای B مجموعه ای است شامل همه عضوهایی که عضو مجموعه ی Aهستند؛ ولی عضو مجموعه ی Bنیستند.

مجموعه ی (B( B – AمنهایA مجموعه ای است شامل همه عضوهایی که عضو مجموعه یB هستند؛ ولی عضو مجموعه ی A نیستند.

 

 توجه در کنکور ریاضی،کنکورتجربی ،کنکور انسانی بیشتر دانش آموزان قسمت اشتراک وسط یا همان بخشی از مجموعه که نباید در مجموعه تکرار شود را در نظر نمی گیرند.

جمع بندی:

ادامه نکات ویژه داوطبین کنکور ریاضی،کنکورتجربی ،کنکور انسانی در قسمت دوم.